Para solucionarlo, utilizamos el siguiente fichero PHP:

<?php

  function fsmodify($obj) {
       $chunks = explode('/', $obj);
       chmod($obj, is_dir($obj) ? 0755 : 0644);
       chown($obj, $chunks[2]);
       chgrp($obj, $chunks[2]);
    }


    function fsmodifyr($dir) 
    {
       if($objs = glob($dir."/*")) {        
           foreach($objs as $obj) {
               fsmodify($obj);
               if(is_dir($obj)) fsmodifyr($obj);
           }
       }

       return fsmodify($dir);
    }   

  fsmodifyr('web');

?>

Este fichero modificará recursivamente los permisos de todos los ficheros y carpetas dentro de web, de forma que serán descargables por cualquier usuario, incluido el que tenga acceso FTP.

Gracias a Felipe Alcacibar por su solución en Stack Overflow.